累積和(CUSUM)管制圖

監視個體樣本累計總和隨時間離目標值的偏差。

為何使用累積和管制圖

一般普遍使用的管制圖有一個主要的缺點是他們僅使用流程收集到的資訊,且忽略整個時間序列的資料點所提供的資訊。
Shewhart 類型管制圖沒有記憶:先前的觀察不影響未來失控旗標的概率。此外,它們對小變化不敏感。
累積和圖使用所有先前觀察值的未加權和。這個圖表有一個相當長的記憶。 如果偏移1.5σ~2σ或更大,他們會非常有效。

另一個累積和管制圖受歡迎的理由是他們消除風險的能力。 舉例來說,考慮意外事件通報系統不良事件需要即時受到管理。醫院不能直到資料點超過3個標準差外的管制界線才產生警示。反而,他們需要更敏感的偵測到微小的流程改變。

當必須確認介於平均值(1~1.5σ)微小改變,但僅可從流程管制取得極少的資料,累積和管制圖是一個非常好的解決方案。 這應該考量應用於資料不頻繁且難以取得(不良事件),或費用高(滿意度調查),且想要偵測到流程操作中微小的改變。 再者,他們對於樣本數n=1,非常有效。

什麼是累積和管制圖?

就像管制圖,累積和管制圖常應用於時間序列的資料,是藉由畫出累計觀察值到目標值的差異所得到的。 每個先前的資料點等同於累積和的值。

舉例來說,假設樣本數 ` n ≥ 1 ` ,且 ` bar x_j ` 代表樣本的平均。接著,如果 `mu_0` 是流程平均值的目標,則累積和管制圖就能利用這些數值畫出來。

` C_i = sum_(j=1)^i (bar x_j - mu_0) `

針對樣本i,`C_i` 為第i個樣本的累積和。 累積和趨勢圖的分析純粹是視覺化的。不使用中位數也不用概率規則。 如果流程位於目標值 `mu_0` 的管制中,累積和的資料點將圍繞著目標值維持水平。 然而,如果平均值向上偏移 `mu_1 > mu_0`,則累積和 `C_i` 則會向上或正向偏移。 相反的,如果平均值向下偏移 `mu_1 < mu_0`,則累積和 `C_i` 則會向下或負向偏移。 圖按方向的改變通常可利用流程改變進行解釋,且累積和統計值的資料點容易偵測到特定期間所發生的影響。 因此,如果趨勢向上或向下,我們可以考慮流程平均值已經偏移,且應進一步探討可能的原因

由於統計值是累計的,先前資料值所提供的資訊同樣被納入累積和圖中。 在特殊原因被偵測到,且採取適當的反應,建議從0"再開始"累積和的統計。 否則,統計值持續指出特殊原因的狀況(當重新開始累積和圖時,另一種選擇是使用〝快速起始反應(FIR)〞,重新啟動累積和圖的統計從特定值開始,而不是0)

表列式累積和圖是如何創建的?

與傳統控制圖相比,表格累積和圖是獨特的,某些參數和統計信息必須在其創作中。

表 1.必要的參數和統計數據來構建表列式累積和圖。
參數 描述
`sigma` ` sigma = sqrt((Sigma(x-bar x)^2)/(n-1)) `
μ0 流程平均值(資料序列的平均)、參照值、或目標值。
k 偵測平均值偏移一半的值。k 值從 0.2 到 1.0,但通常為 0.5,因為能配合傳統修華氏管制圖。
K =kσ
在標準差的倍數中,流程平均值的偏移,為累積和管制圖想偵測到的。一般來說,介於 0.5σ 及 1.5σ 間。
h 決定決策間距 H 的決策參數。h 的值通常設定在 4 (當 k = 0.5),可以配合傳統修華氏管制圖,但其他 kh 的組合可用來符合其他管制圖的目標。
H =hσ
H 為"決策間距",主要用來運算管制界線。管制界線被設為 `h sigma ` 加上或減去目標(設為 0)。分析累積和管制圖,偵測特殊原因的唯一規則為超出管制界線。超出 `C_i^+` 或低於 `C_i^-` 管制界線就是特殊原因的徵兆。
` C_i^+ ` 高於目標值的累積總和,直到並包括第 i 個樣本。
` C_i^- ` 低於目標值的累積總和,直到並包括第 i 個樣本。
FIR `= (1/2)H`
快速最初回應或"先聲奪人"一般來說是 H 的一半,且在沒有資料時,為最初累積和管制圖的值。

` C_i^+ = max[0\, x_i - (T + k sigma) + C_(i-1)^+]`

` C_i^-``= min[0\, x_i - (T - k sigma) + C_(i-1)^-]`
或者,給出零以上的結果:
` C_i^-``= max[0\, (T - k sigma) - x_i + C_(i-1)^-]`

累積和管制圖基本操作:n = 1

資料

(使用前 20 筆資料計算流程平均值及標準差)

50.453, 50.682, 49.686, 49.572, 51.333, 50.280, 49.240, 50.478, 49.263, 50.046, 49.540, 49.270, 50.316, 49.512, 49.895, 50.014, 49.373, 50.523, 51.111, 50.044, 51.601, 50.479, 49.089, 50.632, 50.373, 51.682, 50.521, 51.639

完成表 2 的步驟

1. 在你的 Excel 工作表中輸入欄位名稱。輸入引號中的內容,但不包括封閉的引號。
A1 : "i " (本次群組的序號)
B1 : "xi " (每個樣本的數值)
C1 : "`C_i^+` " (使用上述的公式計算累積和)
D1 : "`C_i^-` " (使用上述的公式計算累積和)
E1 : "CL " (中線)
F1 : "UCL " (管制上限)
G1 : "LCL " (管制下限)
H1 : "`N^+` " (零以上連續點的次數)
I1 : "`N^-` " (零以下連續點的次數)
J1 : "`Y^+` " (如果`C_i^+`超過 UCL,Y=yes )
K1 : "`Y^-` " (如果`C_i^-`低於 LCL,Y=yes )
2. 完成填充表列 A
A2 : "0"
A3 : "=A2+1"
向下拖動 A3 單元格(複製公式)直到 A30 為止 …
A30 : "=A29+1"
確認於 A2:A30,樣本的序列是從 0~28 號
3. 將你專案的資料(上述的「資料」)輸入 B3:B30。
對您的資料欄使用Excel命名範圍(例如,"$B$3:$B$30" 為 "myData")。
4. 使用前 20 筆資料($B$3:$B$22)計算流程參數。在你的資料下方選擇區域,舉例來說,從 A32 開始。
A32 : "`μ_0`"
A33 : "`sigma`"
A34 : "K"
A35 : "H"
A36 : "k"
A37 : "h"
A38 : "`μ_1`"
B32 : "=AVERAGE($B$3:$B$22)"
B33 : "=STDEV($B$3:$B$22)"
B34 : "=$B$36*$B$33" (K = kσ)
B35 : "=$B$37*$B$33" (H = hσ)
B36 : "0.5"
B37 : "5"
5. 設定最初的累積和, `C_0^+` 和 `C_0^-` 等於零。
C2 : "0"
D2 : "0"
6. 計算累積和欄位。註記`C_i^+`及`C_i^-`返回到零幾次。
C3 : "=MAX(0,B3-($B$32+$B$34)+C2)"
D3 : "=MIN(0,B3-($B$32-$B$34)+D2)"
選擇 C3 及 D3 單元格,向下拖動(複製公式)直到 D30 為止 …
C30 : "=MAX(0,B30-($B$32+$B$34)+C29)"
D30 : "=MIN(0,B30-($B$32-$B$34)+D29)"

欄 L 使用 `C_i ^ -` 的第二個公式來確認欄 D 中的結果。
` C_i^-``= max[0\, (T - k sigma) - x_i + C_(i-1)^-]`
L3: "=MAX(0,($B$32-$B$34)-B3+L2)"
7. 設定管制界線的欄位,以利後續畫圖。
E3:E30 : "0" (中線為零)
F3:F30 : "=$B$35" (H = hσ where h=5)
G3:G30 : "=-$B$35" (左側有減號)
8. 檢測是否有超出管制界線。如果`C_i^+`超過管制上限或`C_i^-`低於管制下限,於該行註記"Y" (=Yes)。
J3 : "=IF(C3>=F3,"Y","-")"
K3 : "=IF(D3<=G3,"Y","-")"
選擇 J3 及 K3 單元格,向下拖動(複製公式)直到 K30 為止 …
J30 : "=IF(C30>=F30,"Y","-")"
K30 : "=IF(D30<=G30,"Y","-")"
確認 J30 的結果為 Y
9. 原路返回準確判斷開始異常的樣本了。如果`C_i^+`連續高於管制上線或`C_i^-`連續低於的管制下線,數一數累積樣本的數量(`N_i^+\, N_i^-`)。當流程穩定,圖形會圍繞著零。
H2 : "0" (設定 `N_0^+` 始於0)
I2 : "0" (設定 `N_0^-` 始於0)
H3 : "=IF(C3>0,H2+1,0)"
I3 : "=IF(D3<0,I2+1,0)"
選擇 H3 及 I3 單元格,向下拖動(複製公式)直到 I30 為止 …
H30 : "=IF(C30>0,H29+1,0)"
I30 : "=IF(D30<0,I29+1,0)"
確認你 J30 的結果顯示 "Y",`N_28^+`= 11。回溯到他開始增加的時候,指出第 18 筆開始出現問題。
10. 在改變後,計算替代的流程平均值。在這個例子中,它發生在樣品 28 和它發生在高側。
`mu_1 = mu_0 + K + (C_i^+ \/ N_i^+)`
其中 `C_i^+`是 `C^+`的值超出控制限制時。當管制限制被超過時,`N_i^+`為連續大於零的次數。在這個例子中,`N_28^+`= 11 和`C_28^+`= 3.976。 改變的過程均值 `mu_1` (或`bar x_1`)
B38 : "=$B$32+$B$34+C30/H30"
= 50.032 + 0.306 + (3.976/11)
= 50.699
如果超過偏低的控制範圍,改變的過程均值計算公式是:
`mu_1 = mu_0 - K - (C_i^+ \/ N_i^+)`
表 2.累積和(CUSUM)管制圖計算的示例表
圖 1、表 2 中的累積和管制圖
圖 2、表 2 中的資料累積和狀態(SUSUM status)圖

一旦流程已經被校正回到目標, `C_i^+` 及 `C_i^+` 的值應該被設定為 0。 然而,有一個方稱為快速起始反應(Fast Initial Response, FIR),利用它,值不用設回 0,但會被設為一個特定值,通常是 2 倍的標準差。 這提供一個快速回應到偏離目標的作業。 你也可以利用FIR開始畫累積和圖。 圖 4 顯示當使用FIR的方法時,圖 3 使用 2 個標準差而不是 0。意即,表 2,會有以下改變:

C2 : "=2*$B$33"
D2 : "=-2*$B$33" (左側有減號)

你可以看到圖 2 `C_i^+` 及 `C_i^+` 距離 0 更遠。 如果流程偏離目標,累積和管制圖將能較快偵測到。 如果在管制中,累積和值的趨勢將回到 0,如第 7 個資料點。

圖 3、表 2 利用 FIR 計算的累積和管制圖

累積和管制圖基本操作:n > 1

上面的一個例子是基本的CUSUM管制圖,在每個樣本中有單一個量測值(子群 n = 1)。累積和圖也能用於合理次群組的平均(子群 n > 1),例如,每天在門診診間進行的滿意度調查所得到的平均分數。 在這樣的例子中,σ 以 `σ_x = σ ÷ sqrt(n)` 取代。用 Shewhart 管制圖時,使用合理次群組的平均大大提高了性能。

然而,這不總是會發生在累積和圖中。 舉例來說,如果你有機會選擇〝每半小時取得 n=1 的樣本〞或〝每2.5小時取得 n=5 的合理次群組〞,注意這兩種選擇都有相同的抽樣密度,累積和圖最敏感的檢測方法往往是使用前者 (n=1)。 除非有重大的經濟規模或其他理由會採取次群組樣本大於 1,就應採取 n=1 的累積和圖。

例子:滿意度調查

這個區塊使用滿意度調查為例,依據李克特五分法量表回答品質改善某一策略是否有效的問題。
這個教案是一個醫師的門診。品質改善團隊使用 PDSA 方法,且想檢測該策略的有效性,追蹤在問卷開放性問題病人所反映的抱怨是否有解決。
每個病人,當他看完醫師離開診間時,被要求使用李克特五分法量表評估結果(1 代表非常不高興,5 代表極度滿意)。表a1 顯示每個病人(a~j)的李克特分數。每一行代表〝一天的門診〞,如第一天的調查結果呈現在 B2 到 K2 {1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 3}。
一個禮拜(7天)的基礎數據呈現在第七天和第八天中間的黑線條以上(改善前期)。從第八天開始試用該對策,持續以相同的方法收集兩個禮拜的數據。

檢測的重點結果是『改進』,因此使用單面累積和圖 `C^+`。資料以下三種方式進行分析:

  1. 每天,計算平均滿意度並將其用作單個數據值(n = 1)以計算(表a2)和圖表(圖A2)結果。
  2. 每天,計算平均滿意度並用作包含多個值(每天不同患者數)的單個數據集(n>1)。調整計算以反映這一點(表 a3)和圖(圖 A3) 把 `sigma_x = sigma ÷ sqrt(n)` 取代 σ(圖 A1a)。
  3. 每個病人的值(n=1)用來計算累積和值(表 a4)並畫圖。在基礎期間,收集 62 個病人調查。
圖 A1、核心計算 (n=1).

手動設置CUSUM參數:
k and h
{紅色數字}

從原始數據{藍色數字}計算:
I2: "=AVERAGE($B$3:$K$9)"
I3: "=STDEV($B$3:$K$9)"
I8: "=COUNT($B$3:$K$9)"

Derived CUSUM calculations:
I4: "=$I$6*$I$3"
I5: "=$I$7*$I$3"

使用 EXCEL 函數,還可以計算前七天的平均值的 95%信賴區間(在 J10中,未示出),以及當通過跨越 CUSUM H 限制來識別移位時的新水平的 95% 信賴區間。
I9: "=CONFIDENCE(0.05,$I$3,$I$8)"
J10: "=CONCATENATE(TEXT($I$2-$I$9,"0.000"),"~",TEXT($I$2+$I$9,"0.000"))"

圖 A1a、核心計算 (n>1).




I3: "=STDEV($B$3:$K$9)/SQRT($I$8)"

結果

三種方法都顯示,從第8天開始,基線系統被突破,然而各方法能夠多早檢測到變化方面有所不同。
使用Excel函數計算95%信賴區間,兩個時期的平均滿意度為:
基線:2.468 (2.218~2.718)
策略後:3.536 (3.468~3.603)

By looking at the core calculation area, we can see that the CUSUM has detected an increase (change)

 


表a1、原始資料

表a2、每日平均 (n=1).

表a3、每日組 (n>1).

 


圖 A2、表 a2 的 CUSUM 圖。

圖 A3、表 a3 的 CUSUM 圖。

 


表a4、單個病人 (n=1).
圖 A4、表 a4 的 CUSUM 圖。

  1. 表 a2 在 E18 先偵測到改變(`Y^+`= "Y" )。使用 `N^+` 以利回溯,我們能再第八天開始看到改變。
    圖 A2 很容易看到結果,第一個正數的直條顯示在第八天,且在第 16 天突破決策間距 (H=5.018)。
  2. 表 a3 在第八天 E10 先偵測到改變(`Y^+`= "Y" )在第八天,那就是開始實施該改善策略一天後。
    圖 A3 的結果發現,第一個正數的直條顯示在第八天,且立即突破決策間距 (H=0.637)。
  3. 表 a4 在第 69 個病人 E71 先偵測到改變(`Y^+`= "Y" ),這天是改善策略實施當天。
    這個容易在圖 A4 看到,持續的正數的直條顯示在第 63 位病人,且在第 69 位病人突破決策間距 (H=5.018)。

 


實務:院內感染

當使用每月的感染資料,Shewhart、CUSUM 及 EWMA 管制圖能用於沒有分母資料,在感染管制計畫中,這部份的資料常難以定義,且長花很多時間收集。 這可用於不良事件比率不超過10%。

感染率的變化可以突然大量增加或持續上升來表示。 因為 Shewhart 管制圖更好地檢測前者,而 CUSUM 和 EWMA 圖後者,最好一起使用這兩種。


CUSUM 觀察圖

圖 4 以階梯狀的線呈現相對於時間的不良事件累積件數。 線的斜率說明感染率;斜率越抖,比率越大。

資料

針對特定手術,期望的 SSI 為 5%,且不可接受的比率為 10%。 這類手術共執行了 190 次,且其中有 14 (7.4%)產生 SSI:

6, 14, 42, 50, 53, 70, 78, 79, 84, 106, 108, 112, 139, 159
Morton et al p.114

CUSUM 觀察圖

圖 4、CUSUM 觀察圖 (Observational)

解釋

只要看看圖 4,綠色 SSI 的趨勢線有三個或更多個點高於 10% 管制上限。 為了更準確的調查,你可以在你的工作表中增加另一個欄位 J:
J3 : "=IF(C3>=E3,"Y","")"
選 J3 並複製公式往下拖曳到 J192
結果為 "Y",表示資料點高於 UCL
i: 6~10
i: 14~20
i: 79~80
i: 84~90
i: 108~110
i: 112~120

Excel 工作表步驟

1. 開啟一個新工作表,並按如下所述,設定 A~E 的欄位名稱(其他欄位將用於下個例子〝統計檢定〞圖 5):
A1 : "i"
手術序號
B1 : "SSI"
是否產生 SSI(1=SSI、0=未感染)
C1 : "CUSUM"
SSI 的累積件數(為了呈現,這個欄位將窄化,且僅 ”SUM” 可呈現於圖上)
D1 : "LCL"
圖 4 累積和管制下限(5%)
E1 : "UCL"
圖 4 累積和管制上限(10%)
表 3、CUSUM Excel 欄位名稱
2. A 欄填入手術序號
A2 : "0"
手術序號
A3 : "=A2+1"
選 A3 並複製公式往下拖曳到 A192
結果:A 欄(標題=i )填入數字,A2:A192 從 0 到 190 (註記:Excel 工作表部分隱藏,所以行數從 4 跳到 60)
3. B 欄填入每次手術是否有產生 SSI
B3 : "0"
選 B3 並複製公式往下拖曳到 B192
結果:B欄填入0,B3:B192 全都 = "0"
現在對 14 次有感染的手術,以 1 取代 0,代表有感染,舉例來說:
B8 : "1" (i = 6)
B16 : "1" (i = 14) 等等
4. 計算 CUSUM 欄位
C2 : "0"
C3 : "=C2+B3"
選 C3 並複製公式往下拖曳到 C192
C192: "=C191+B192"
5. 設定管制界限至 D2 及 E2,接著欄 D 計算 LCL,欄 E 計算 UCL
D2 : "0.05"
E2 : "0.10"
D3 : "=$D$2 * A3"
E3 : "=$E$2 * A3"
同時選 D3 和 E3,並複製公式往下拖曳到 E192
與表 4 比較你的結果

CUSUM 統計檢定

當不良事件比例超出預先訂定的水準到一個程度,統計檢定提供一個警示,反映出不太可能是因為隨機變異。 這個水準可參考發表的報告或過去的感染率來指定。

當選擇監測的手術,可以選擇主要、普遍及風險同質性高的手術。 一年應該有至少 50,最好100或更多的手術件數。 若數量較少,在時間內要採取行動促成改變所需要的時間太長。

區塊。持續的手術被分組為”區塊”,設有區塊中,平均為一件 SSI 。 CUSUM 被設定來偵測區塊內平均增到加兩件 SSI。 每個區塊包的含手術件數以(1/感染率)計算;舉例來說,5% 的手術傷口感染,每個區塊中,將有 1/0.05 = 20 件手術。

常數 h 最好被設定在 3。k 是介於每個區塊期望的感染數與不滿意的感染數間的範圍,所以 k = 1.5。決策程度 d = h + k 決定當 CUSUM 的值達到統計顯著水準。在這個例子,d = 3 + 1.5 = 4.5。

圖 5、CUSUM 統計檢定圖 (Statistical Test)

Excel 工作表步驟

1. 使用相同的工作表(表 4),增加以下欄位:
A1 : "i"
手術序號
B1 : "SSI"
是否產生 SSI (1 = SSI, 0 = 未感染)
C1 : "CUSUM"
SSI 的累積件數
D1 : "LCL"
圖 4 累積和管制下限(5%)
E1 : "UCL"
圖 4 累積和管制上限(10%)
F1 : "區序"
區塊的序號
G1 : "區積"
在目前的區塊,感染件數
H1 : ""
CUSUM 值
I1 : "邊界"
區塊。持續的手術被分組為”區塊”,設有區塊中,平均為一件 SSI 。
J1 : "得分"
CUSUM 分數
L1 : "(Y)"
在圖 5 檢定是否 CUSUM 值超出決策程度(Y = 超出, 空白 = 在界線內)
2. 增加 CUSUM 常數到工作表
K1 : "1.5" {=k }
常數 k:CUSUM 統計檢定圖
K2 : "3" {=h }
K3 : "=$K$1+$K$2" {=d }
F2 : "=1/$D$2"
多少處置組成一個區塊
3. 將決策水準 d 填入 K 欄
選擇 K3,並複製公式拖曳到 K192
4. 第一個數據行的公式:
A3: "=A2+1" {i=1}
B3: "0"
C3: "=C2+B3"
D3: "=$D$2*A3"
E3: "=$E$2*A3"
F3: "=ROUNDUP(A3/$F$2,0)"
G3: "=B3"
H3: "=G3"
I3: "=IF(AND(F3=1,F4=1),"",IF(F4="",I2,IF(F3<>F4,H3,I2)))"
J3: "=IF(AND(F3=1,F4=1),"",IF(I3-$K$1<0,0,I3-$K$1))"
5. 第二行以及之後的所有行的公式:
A4: "=A3+1" {i=2}
B4: "0"
C4: "=C3+B4"
D4: "=$D$2*A4"
E4: "=$E$2*A4"
F4: "=ROUNDUP(A4/$F$2,0)"
G4: "=IF(F4=F3,B4+G3,0)"
H4: "=IF(F4=1,B4+H3,IF(H3>=$K$3,0,G4+J3))"
I4: "=IF(AND(F4=1,F5=1),"",IF(F5="",I3,IF(F4<>F5,H4,I3)))"
J4: "=IF(AND(F4=1,F5=1),"",IF(I4-$K$1<0,0,I4-$K$1))"
6. 以檢定攻勢填入 L 欄,以判斷是否突破 CUSUM 決策閾。
L3 : "=IF(H3>=K3,"Y","")"
選 L3,並複製公式到那個區塊的 L192
注意手術的結果為 "Y":
圖 5: i = 79 筆
表 4、CUSUM 區塊的運算(截)

視覺解釋

標駐區塊的疆界。在 A 欄,每 20 個 ($F$2) 手術,以粉紅色的背景標駐區塊的終點;也就是 i = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 在 A22, A42, A62, A82, A102, A122, A142, A162, A182。
表 4 在每個區塊的最後增加一條黑線,讓區塊的範圍更清楚。

請注意,接著在每個區塊 CUSUM 的第一個值將重置為零。在 G 欄,每 20 件 ($F$2) 手術後,在每個區塊的開始設定橘色的背景;也就是,i = 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181 在 G23, G43, G63, G83, G103, G123, G143, G163, G183。

將每個區塊最後一個 CUSUM 值背景改為藍色。也就是在 I 欄 i = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 在 I22, I42, I62, I82, I102, I122, I142, I162, I182。

I 欄的 CUSUM 值隨區塊而變化,並確保獨取前一個區塊的最後一個值(就是我們剛剛標註藍色背景的部份)。 如果他小於 0,則設為 0。 將 I 欄的第一個區塊維持空白(看表 4 之 I 欄),因為 CUSUM 值在那個區塊等於 SSI 的數量。


快速模板

如果你利用上述的方法一步步完成實例,你已經了解基本方法,接著使用以下版本使後續的例子更能利用。

1. 在一個新的工作表,按以下說明設定欄位名稱
A1 : "i"
B1 : "SSI"
C1 : "Score"
D1 : "Block"
E1 : "Value"
2. 在分開的區域設定常數
F1 : "k" G1 : "1.5"
F2 : "h" G2 : "3"
F3 : "d" G3 : "=G1+G2"
F4 : "Rate" G4 : "0.05"
F5 : "Block" G5 : "=1/G4"
將區塊筆數 G4 設置為感染率。
3. 將最初的值設為0,因必須使用前一個值進行運算
C2 : "0"
D2 : "0"
E2 : "0"
4. 按以下指示設定公式,接著複製公式,拖曳至最後一列
C3 : "=IF(MOD(A3,$G$5)=0,IF((E3-$G$1)<0,0,(E3-$G$1)),C2)"
D3 : "=IF(MOD(A3,$G$5)=1,0,(B3+D2))"
E3 : "=IF(A3<=$G$5,(B3+E2),IF(E2>=$G$3,0,(D3+C2)))"
5. 和以前一樣,增加一個平行的欄位並填入 d ($G$3),並畫統計檢定圖
表 4a、CUSUM 區塊的運算快速法(截)

採用此方法於本醫院

手術 #1

從 2001 年 12 月 ~ 2016 年 08 月,867 件手術,有 40 件感染,感染率為 4.6%。有感染的手術序號列於下方:

9, 11, 19, 24, 30, 48, 58, 74, 80, 110, 113, 130, 135, 151, 186, 189, 228, 239, 273, 293, 319, 337, 339, 380, 384, 437, 458, 480, 482, 484, 523, 529, 553, 611, 702, 733, 750, 793, 809, 810
圖 6、CUSUM 觀察圖 #1(全系列)
圖 7、CUSUM 統計檢定圖:CCH#1

解釋: 在初期(前 100 個手術),感染件數的 CUSUM 值大多在或超過 10% 管制上限(圖 6)。 且閾值在第 80 筆手術被超過了(圖 7)。此後,SSI 件數變得更水平 ,接著,在最近一年,傾向管制下限,低於 5%。為了進一步探討這兩個期間,資料分為兩個時期:圖 8 (前 100 筆手術)及圖 9 (最近一年)。這些圖形證明 SSI 比率在該手術有明顯的改善(降低)。

圖 8、CUSUM 觀察圖 #1(1~100)
圖 9、CUSUM 觀察圖 #1(最近一年)

實踐事例

對每個事​​例:

  • 畫出 CUSUM 觀察圖
  • 畫出 CUSUM 統計檢定圖
  • 解釋結果
手術 #2

從 2000 年 10 月 ~ 2016 年 08 月,771 件手術,有 57 件感染,感染率為 7.4%。有感染的手術序號列於下方:

21, 27, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 52, 58, 69, 80, 82, 87, 90, 95, 96, 98, 100, 101, 106, 113, 119, 120, 125, 137, 140, 161, 164, 170, 173, 185, 209, 215, 224, 243, 257, 273, 285, 298, 307, 310, 313, 318, 331, 337, 360, 373, 403, 440, 638, 658, 687, 705, 715, 716, 743
手術 #3

從 2001 年 12 月 ~ 2016 年 02 月,469 件手術,有 20 件感染,感染率為 4.3%。有感染的手術序號列於下方:

30, 33, 42, 43, 45, 46, 58, 139, 235, 255, 274, 321, 324, 340, 401, 404, 420, 436, 446, 465

參考文獻:

  • Morton AP, Whitby M, McLaws ML, Dobson A, McElwain S, Looke D, Stackelroth J. The application of statistical process control charts to the detection and monitoring of hospital-acquired infections. J. Qual. Clin. Practice. 2001; 21: 112-117.

實務:病人滿意度

資料

82, 79, 84, 82, 92, 80, 94, 78, 83, 84, 92, 84, 89, 88, 93, 84, 98, 92, 87, 94, 93, 95, 91, 84, 95, 92, 95
表 5、病人者滿意度的CUSUM計算。
圖 10、病人滿意度趨勢線(CL=中位數)。
圖 11、 表14的CUSUM控製圖(目標=μ0)。
圖 12、表14的CUSUM控製圖,但目標= 85%

資料是每月病人滿意度,表示為雙頂指標(在Likert量表 1分-5分上給出 4分 或 5分 的人數量)導出的百分比。 在圖10中,使用中心線的中值89%來顯示每月滿意度作為推移圖(趨勢線)。 推移圖表顯示沒有違反任何非隨機變化規則可暗示改進。

圖 11是表 5 中的數據的CUSUM,使用系統平均值(88.296)作為目標(目標)。 這示出了在圍繞 i = 16 的過程變化的引入之後,從目標(零中心線)開始的逐漸的持續變化,儘管前幾個月具有差的性能(在中心線之下)。 這在 CUSUM 圖表中比推移圖表(其中沒有違反任一隨機變化規則)在視覺上更明顯。

圖12 是相同資料的 CUSUM,但是使用 85%為目標。 (要在 Excel工作表中查看此效果,請將單元格C31更改為“85”) CUSUM 圖表最初顯示為平坦的斜率,表明性能接近目標。斜率在 i = 11處開始上升(保持在中心線上方)並且在 i = 22 處穿過 H 閾值(UCL),指示 月度業績大於85%的目標。 過程斜率繼續上升,表明目標(最後6個資料點)之上的持續性能。

繼續使用目標為 85%的工作表,並將 `C_i ^ +` 重置為 `2sigma` 的FIR;
C23: "=2*$C$32"
你是否發現,CUSUM 線繼續上升,並且在四個資料點之後再次達到上限控制限。

實務:風險分層

圖13顯示了在某醫院在一年內闌尾切口傷口感染(SSI)的 CUSUM 圖。圖 13(a) 是當年整體手術的 CUSUM 圖加上醫院訂定的目標:下限為1.5% 和上限為 3.25%。圖 13(b) 是相同的醫院資料,但具有從同一時期的 NHSN 資料庫添加的對等組統計。圖 13(c) 按 NHSN 風險(0 級、1級)和 圖 13(d) 分層,NHSN 風險(2 級、3 級)分層。虛線表示 NHSN 對等體組級別。

圖 13、在一年內闌尾切口傷口感染(SSI)的 CUSUM 圖。

解讀:儘管醫院在時間過程中已經達到了其自己的目標(13a),但是通過與NHSN對等組(13b)相比,它在圖的右三分之一處的上限(虛線紅線)上方徘徊,並繼續惡化,直到結果高於 2.45% 的上限。然而,風險分層表明這種影響不存在於風險類別 0級 和 1級(13c),但風險類別 2級和 3級(13d)在整年中真的很糟糕,遠高於該組的5%上限。這是品質改進需要關注的分組。

參考文獻:

  • Coory M, Duckett S, Sketcher-Baker K. Using control charts to monitor quality of hospital care with administrative data. Int J Qual Health Care. 2008; 20(1): 31-39. [www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed]
    使用風險調整、預期死亡率減去觀察死亡率的 CUSUM 管製圖,在急性心肌梗塞入院後的 30天,院內死亡率。
  • Noyez L. Control charts, Cusum techniques and funnel plots. A review of methods for monitoring performance in healthcare. Interact CardioVasc Thorac Surg. 2009; 9(3): 494-499. [doi: 10.1510/icvts.2009.204768]
    對 CUSUM 圖表的討論,包括累積失敗圖表、標準非風險調整的 CUSUM 圖表、風險調整的 CUSUM 圖表和漏斗圖,特別是在心臟手術中。

實務:技術考核

Cusum failure analysis is useful in monitoring performance in procedures performed for health care. The most difficult aspect is determining what is an acceptable and an unacceptable failure rate. Results are presented in two types of graph:

  1. number of cumulative failures on the vertical (y) axis, against the attempt number on the horizontal (x) axis. Thus a zero failure rate would result in a horizontal line, but a 100% failure rate would result in a 45 degree line through the axis. As the cumulative failure rate can never go down, the graph will rise, but does provide simple intuitive information about crude success or failure rates at defined counts of procedures. (see HAI section above for examples)
  2. Cusum value plotted on the y axis against the attempt number on the x axis. At acceptable levels of performance, the CUSUM curve is flat or sloping downwards, while at unacceptable levels of performance, the curve slopes upward and eventually crosses a decision interval.

Plotting the Cusum is ideal for long-term performance surveillance (as in continuous professional development), as it is easy to identify a change in performance after a period of either acceptable or unacceptable performance. This is much more difficult to identify on the cumulative failure graph.

However, the cumulative falure graph is used to monitor trainees, often by adding "alert" lines with a higher type 1 error in the same calculations to alert the trainer that a trainee is approaching unacceptable performance.

Performance is measure as a binary outcome (success versus failure of procedures) with 1 indicating failure. What is "acceptable" and what is "un acceptable" has to be specified explicitly before beginning to monitor. Ideally these should be based on universally accepted standards published by authoritative medical professional bodies. Unfortunately, such performance standards are rare, or are in the process of being established. Until then, specialists involved in the monitoring should decide on the standards first.

Where CUSUM monitoring has been tested, the doctors who participated found the technique acceptable, particularly as a personal self-assessment tool. However, they were less certain of its acceptability as a basis for credentialing.

Although the use of SPC is well established in some disciplines like laboratory medicine, its application in clinical care processes poses special challenges. Shewart charts are designed to detect a large but transient shift in the process mean, typically in large-volume manufacturing processes. This limits their application in the clinical care process for two reasons.

  • Firstly, the the throughput of the clinical process is typically very slow; for example, a surgeon may perform no more than one to five procedures a day. It is both undesirable and inconvenient for a performance monitoring system to require sample sizes of greater than one to accumulate before analysis.
  • Secondly, for clinical care, even a small shift in process mean is of concern; for example, adverse deterioration in mortality rate, complication rate, or procedure failure rate. Clinical monitoring requires early warning of poor performance before too many adverse outcomes have occurred.

CUSUM charting is objective and has great visual appeal. For trainees, it literally shows a learning curve and how an individual is making progress over time with more practice. This can complement the current system that relies on inspection by external observer, and is certainly better than relying on performance of an arbitrary number of procedures before competence is assumed. Doctors do have varying learning curves.

Type 1 error: odds of falsely accusing an operator of being incompetent α
Type 2 error: odds of falsely certifying someone as competent β
The cusum graph is said to signal when `C_n` crosses a predetermined decision interval, `H`. `H_0` denotes the value between each acceptable decision level. These intervals can be marked as horizontal lines on the cusum graph. When a line is croseed, `C_n` traditionally reverts to zero, but a learning curve can be constructed if repeated decision intervals are stacked graphically.
Commonly used values: acceptable failure rate `p_0` = 0.1 (10%), unacceptable failure rate `p_1` = 0.2 (20%), `α` = 0.1, `β` = 0.1
`P = ln(p_1 \/ p_0)\, Q=ln((1 - p_0) \/ (1-p_1)) `
The success of the procedure `s` is calculated from the two rates, as is the failure `(1-s)`.
`p_0 = 0.1\, p_1 = 0.2\, s = 0.15\, (1-s) = 0.85`
`a = ln((1 - β) \/ α)`
`b = ln((1 - α) \/ β)`
`H_0 = b \/ (P+Q) = 2.71`
`H_1 = a \/ (P+Q) = 2.71`

Figure 14. {text}
Table 6. {text}

參考文獻:

  1. Lim TO, Soraya A, Ding LM, Morad Z. Assessing doctors’ competence: application of CUSUM technique in monitoring doctors’ performance International Journal for Quality in Health Care 2002; 14(3): 251-258.
  2. Starkle T, Drake EJ. Assessment of procedural skills training and performance in anesthesia using cumulative sum analysis (cusum). Can J Anaesth. 2013; 60 (12): 1228-39.
  3. Campbell RD, Hecker KG, Biau DJ, Pang DSJ. Student Attainment of Proficiency in a Clinical Skill: The Assessment of Individual Learning Curves PLoS One. 2014; 9(2): e88526.
  4. Naik VN, Devito I, Halpern SH. Cusum analysis is a useful tool to assess resident proficiency at insertion of labour epidurals. Canadian Journal of Anesthesia. 2003; 50(7): 694-8.
  5. Bould MD, Crabtree NA, Naik VN. Assessment of Procedural Skills in Anaesthesia Br J Anaesth. 2009; 103(4): 472-483.
  6. Norris A, McCahon R. [editorial] Cumulative sum (CUSUM) assessment and medical education: a square peg in a round hole Anaesthesia 2011; 66(4): 250-254.
  7. Calsina L, Clara A, Vidal-Barraquer F. The Use of the CUSUM Chart Method for Surveillance of Learning Effects and Quality of Care in Endovascular Procedures European Journal of Vascular and Endovascular Surgery 2011; 41(5): 679-684.
  8. MacKenzie Kr, Aning J. Defining competency in flexible cystoscopy: a novel approach using cumulative Sum analysis BMC Urology 2016; 16:31
  9. Kemp SV, El Batrawy SH, Harrison RN, Skwarski K, Munavvar M, Roselli A, Cusworth K, Shah PL. Learning curves for endobronchial ultrasound using cusum analysis. thorax.bmj.com/content/65/6/534.full.pdf
  10. RCOA bulletin 54 - The Royal College of Anaesthetists https://www.rcoa.ac.uk/system/files/CSQ-Bulletin54.pdf Mar 18, 2009 - A learning curve for all – CUSUM curves in initial assessment of competency. Page 13
  11. Komatsu R, Kasuya Y, Yogo H, Sessler DI, Mascha E, Yang D, Ozaki M. Learning Curves for Bag-and-mask Ventilation and Orotracheal Intubation: An Application of the Cumulative Sum Method Anesthesiology 2010; 112: 1525-1531.
  12. Ospina ODA, Medina AMR, Marulanda MC, Buitrago LMG. Cumulative Sum learning curves (CUSUM) in basic anaesthesia procedures Colombian Journal of Anesthesiology 2014; 42(3): 142-153.

實務:CUSUM 間隔管制圖

利用CUSUM的方法進行更嚴密的監控,更重視保持流程在特定的目標,而不是讓其靠近管制界線。 由於更嚴密的監管,超出管制的訊號將不常指出流程產生不合格的產品;超出管制的訊號則是代表應採取管制行動以預防產生不合格的產品。 由於CUSUM的方法是早期指出流程的變化,他們與管理哲學一致,鼓勵第一時刻就把事件作對。 CUSUM的使用也符合異常管理理論,因為CUSUM指出例外管理的領域。

Lucas (1985) 確定 Poisson CUSUM 每個抽樣間隔的數量 (g-chart) 及事件間時間間隔 (t-chart)。 g-chart 可被用來計算不好單位(如:手術傷口感染)間好單位的數量(如:手術)。 除了設計教案,可能的應用包括監測意外事件間的時間、文書工作發生一個或多個錯誤、或先天異常的發生率。 〝數量〞這個詞較〝不良品〞(不遵從、不遵從)受喜愛,因為〝數量〞的應用層面較廣。 對 g-charts,期望缺陷間的時間(或連續不好的單位間好單位的數量)越大越好。 T-chart 對於偵測事件間時間的變化是很有用的,且訊號指出是否好單位的數量降低,壞單位的發生率(缺陷、感染)增加。

錯誤率可以測量為“每{監視的單位數}的缺陷” (例如,每百萬單位錯誤數)及“每{監視的機會數量}的缺陷”(例如,每百萬機會錯誤數)。 以手術預防性抗生素為例,每個手術有幾個步驟,包含抗生素的選擇、劑量、給藥時間(有三個部份:術前、術中、術後中止)。總共監測五個項目(忽略討論其他牽涉到病人及藥物辨識的步驟)。 如果全部遵從指引,病人被紀錄為〝正確〞治療;如果任一項目未遵從(如:術前抗生素太早給、術後抗生素未停用),病人則被記為〝未正確〞(缺陷、不符合)。 亦即,每個病人被視為一個單位,並評為〝是〞(完全遵從)或〝否〞。 這就是〝單位錯誤率〞指標,分母為使用手術預防性抗生素的病人數。 分開來看,手術的每個步驟都被監測,所以每個病人有五個機會未遵從指引。

這是〝機會錯誤率〞指標, 分母為使用手術預防性抗生素的病人數乘以步驟數。 兩項指標都是很重要的,且能利用 t-型圖 CUSUM 及 g-型圖管制圖進行監測。

CUSUM 控制方案通常通過計算其平均遊程長度(ARL)來評估。 ARL 是在顯示失控之前採集的平均樣本數。 當過程處於其目標水準時, ARL 應該較大,而當過程轉換到不期望的水準時,ARL 應該較短。 在很多指標,單位錯誤率管制內的 ARL被設定為 100;對機會錯誤率管制內的 ARL 被設定為 1000。 機會錯誤率管制內的 ARL 設定大於單位錯誤率管制內的 ARL,為了避免流程出現管制外的訊號(亦即避免虛驚)。

記數資料 CUSUM 的設計

  1. 使用可接受的比率 `u_a`,選擇參考值k,且平均計數資料 `u_d` 能快速被偵測到。
    雖然,`u_a` 的期望值(或目標)常是 0,但 0 通常無法使用於設計公式。實務上,`u_a` 常被選為靠近目前平均值;這代表目前系統的表現。 參考值應被選為接近:

    兩個不好的事件間,好事件的件數 CUSUM g-chart {POISSON}
    `k_p = (μ_d - μ_a)/(ln(μ_d) - ln(μ_a))`

    事件間的時間間隔 CUSUM t-chart {TBE}
    `k_b = (ln(μ_d) - ln(μ_a))/(μ_d - μ_a)`

  2. 從 Lucas (1985) 表中選擇決策間隔值 `h`,主要是由期待管制中的 ARL 所決定的;也就是說,錯誤的超出管制界線的訊號(偽陽性)是可接受的次數。 透過使用 ARL 表在FIR CUSUM,可避免剛開始超出管制界線的狀況。Lucas (1985) 相關表如下(〝惡化方向〞意味著方向的改變表示缺陷的增加/品質的降低)。
    表 7、決策區間的劉易斯查找表
    惡化方向g-型圖
    {POISSON}
    t-型圖
    {TBE}
    增加表 3表 10
    減少表 5表 8
  3. 對於事件間時間間隔 CUSUM (t-chart),`h` 是利用常態參考值ARL 表得來的 `k_t=k_b × μ_a`,或也許從 `μ_d × μ_a` 所得到的。

    `k_t = ( ln(μ_d ÷ μ_a )) / ((μ_d ÷ μ_a) - 1 )`

    由於事件間間隔時間是連續性的資料,在表中插值也許是需要的。ARL 插值使用對數內插值(線性內插值是用自然對數(ARL)),介於兩個最接近的常數 `k` 間(以恆定比例 `h \/ k`)。

    `x = x_2^f × x_1^(1-f)` (Deserno M)

    從表中取得的 `h_t` 值被歸一化以獲得由具有 `h_b =(h_t × &mu; _a)` 的控制方案使用的判定間隔值(`h_b`)。
  4. 使用上述的 `C_i^+` 和 `C_i^-` 方程來計算。

簡化 ARL 計算

`ARL = (exp(-2Δb) + 2Δ -1) / (2 Δ^2)` (Siegmund's approximation, Montgomery p.323)

for `Δ \ne 0` (if `Δ=0` use `ARL = b^2`)

  1. 開始新的工作表來測試一個雙面的 cusum,使用 `k=1 \/ 2, h=5`.
  2. 在A欄中輸入參數名稱,如圖 15 所示。
  3. 設置 `k=1 \/ 2` → B1 = 0.5
  4. 設置 `h=5` → B2 = 5
  5. 將欄C中顯示的方程輸入單元格中緊接其左側的欄B中
  6. 對於穩定狀態(沒有從平均值的移位,即 `δ^* = 0`)
    設置 `δ^* = 0` → B5 = 0
  7. 確保您的結果是 `ARL = 469.1`
再者,嘗試移動 `2σ` (`δ^*=2`); 確保你的結果是 `ARL = 3.89`
圖15、計算 ARL 的Siegmund近似

示例:事件之間雙向CUSUM間隔管制圖

對意外事件的資料,每一個新發生的事件很值得以 CUSUM 進行更新。
以比率/月為基礎設計 CUSUM,接著再轉換為每日為基礎進行。

急診意外事件發生日清單 [急診意外事件發生日]
(Table 15 in Lucas JM. Counted data CUSUM's. Technometrics. 1985; 27(2): 129-144)
  1. 將資料匯入 Excel 的工作表。確認資料被轉換為日期型態。
  2. 旁邊的欄位計算每一個事件到前一個事件間的日數。
  3. 使用前五年的資料計算平均意外事件的水準 `u_a`
  4. 設定被監測的流程水準為 `δ^* = 1`, ,且利用它來計算雙向趨勢(增加、減少)率 `u_d`
  5. 計算雙尾: `k_b = (ln(u_d) - ln(u_a) \/ (u_d - u_a)`
  6. 使用30作為每月的天數,且重新計算 `k_b` 天數
    `k_b = k_b × 30`
  7. 使用 Lucas 表,找到適當的 `h_t`,(使用FIR特性)
  8. 為了執行,使用 `h_b = h_t \/ u_a` and `S_0 = h_b \/ 2`
  9. 使用上述所討論的等式,計算每邊的 CUSUM 值
    `S_i = max(0\, k_b - Y_i + S_(i-1))`

解決方案:事件之間雙向CUSUM間隔管制圖

表 8、急診事故數據解決方案 `u_a = 2.0`
參數 增加 減少
`u_d` 3.0 1.0
`k_b` 0.41 0.69
`k_b` (days) 12.3 20.7
`h_t` 5.6 適合兩者

對於實現,使用 `h_b = h_t \/ u_a = 5.6 \/ 2 = 2.8` 個月,或者 84天,使用 `S_0 = 42` days.

實現CUSUM以檢測速率的增加使用
`S_i = max(0\, 12 - Y_i + S_(i-1))`
在前五年的資料中沒有給出信號,並且沒有(假)檢測到第二個五年的資料增加。

實現 CUSUM 以檢測速率的降低使用
`S_i = max(0\, 12 - y_i + S_(i-1))`
在前五年中不給出假信號,並且給出指示使用數據點 128-130 的平均值減小的第一信號。 如果使用FIR特徵重新啟動 CUSUM,則在四次觀察之後,CUSUM 將再次發出信號。

參考文獻:

  • Lucas JM. Counted data CUSUM's. Technometrics. 1985; 27(2): 129-144
  • Borror CM, Kerts JB, Montgomery DC. Robustness of the time between events CUSUM. International Journal of Production Research. 2003; 41(15): 3435-3444
  • Deserno M. Linear and Logarithmic Interpolation 2004-03-24 [www.cmu.edu/biolphys/deserno]

測試自己

實現以下數據的 CUSUM 圖表,並解釋您的發現。 [資料來源:表1 於 Adeoti OA]

表 9、HIV/AIDS 陽性的患者
2001 2002 2003 2004
01 31 33 33 36
02 45 48 48 28
03 41 47 26 24
04 40 25 26 43
05 53 28 30 32
06 48 18 41 26
07 55 36 40 44
08 71 23 27 25
09 56 31 49 48
10 64 14 41 51
11 47 6 51 41
12 47 16 13 46
圖 16、HIV/AIDS 的 CUSUM 管制圖。
表 10、HIV/AIDS 的 CUSUM 計算。
C3:"=MAX(0,B3-($B$52+$B$54)+C2)"
D3:"=MIN(0,B3-($B$52-$B$54)+D2)"
E3:"0"
F3:"=$B$55"
G3:"=-$B$55" (前減號)
H3:"=IF(C3>0,H2+1,0)"
I3:"=IF(D3<0,I2+1,0)"
J3:"=IF(C3>=F3,"Y","-")"
K3:"=IF(D3<=G3,"Y","-")"
表 11、CUSUM 計算的參數

參考文獻:

  • Adeoti OA. Application of Cusum Control Chart for monitoring HIB/AIDS patients in Nigeria International Journal of Statistics and Applications 2013; 3(3): 77-80. [DOI: 10.5923/j.statistics.20130303.07]


參考文獻:

  • Montgomery DC. Introduction to statistical quality control. 3rded. John Wiley & Sons Inc. 1997