平均值與標準差管製圖 (x-bar and s charts)

成對出現的獨立管製圖:一個是依據每個次群組的衡量結果、一個是依據分散程度

= "x-bar" 算術平均數(平均值)
= "x-double-bar" 總平均值(所有平均值的平均值)

平均值與標準差管製圖是成對出現的獨立管制圖,一個是依據每個子群組的衡量結果的平均值(xbar),一個是依據分散程度(標準差)。這兩種變數通常隨時間註記。圖的中線分別為總平均值(平均值的平均值)及標準差的平均值。

觀察值的數據會儘可能依據同質性(子群組內的資料儘可能是很類似的)整合至子群組。子群組是一組在類似條件下或在相同的時間週期內取得的測量結果。子群組的大小是多變的,可以低至2或3;也可以是非常大的,如在管理性的資料庫內。

隨著子群組大小的不同,管制界線會隨之上下波動,對於樣本較小的子群組,管制界線較寬。這在 s 圖也有此現象,隨著子群組大小不同而改變。

解釋

使用時間資料進行流程改善,對於其他管制圖的檢測方法亦可以應用於x-bar管制圖。然而,只有檢測條件 #1(一個或更多資料點超過3個標準差的範圍)被採用。 平均圖(上圖)指出抽樣間流程的變化。 標準差圖(下圖)顯示每次抽的樣本內之變異性。
當分析這些圖時,應該先分析標準差圖。如果他有一個或多個點超出管制界限,就不要進一步分析平均圖。 這是因為標準差的平均值是用來計算平均圖的界限。如果標準差圖超過管制界限,則平均圖的管制上限及下限將會偏移。 也要注意標準差圖沒有分區(如 1SD、2SD、3SD),因為分區不適用。
對於流程管制,只有檢測條件 #1 可用在 x-bar 和 s 圖。
那麼,繪製了這個圖該怎麼辦?你已經知道幾件事:

  1. 流程在管制內(穩定)
  2. 一般來說,未來在執行流程大約需花掉 CL(平均)的時間,除非
    • 一些事情產生特殊原因變異
    • 採取介入行動及啟動流程改善措施
  3. 使用此數據回饋給流程的使用者,特別是如果他們抱怨流程耗很多時間或總是被改變。 如果他們認為目前流程的平均是不可接受的,那基本的作法是〝採取行動改變流程!〞

如果你決定採取行動以改善穩定流程,由以下幾個現象視為流程改善的佐證:

  • 降低流程的變異(亦即管制下限及管制上限的區間縮小)
  • 且/或流程平均比先前程度高或低

為了檢測介入策略的影響,你利用原先的管制界限及流程平均,接著持續畫上新的資料。如果你的介入策略有效,你會看到流程的變異降低且/或偏移。

變數管制圖的因子

因子 {A3}、{B3}、{B4} (依據子群組的大小) 列在表二。對使用 Excel 的人,能使用 LOOKUP 指令讀取手工編碼表,亦可利用表一在 Excel 中依據子群組的大小進行運算。{C4} 因子常伴隨著 n,強調隨著子群組的大小而改變,這裡的 n ≥ 2。

圖1. 從在下面的例子中的數據繪平均值與標準差管製圖。

不平等的分組大小時,如何繪製平均值與標準差管制圖

事先準備:數據輸入在 Excel 工作表(例如,把 40 子群組每組3至5個樣品,存於 C~G 欄之 4~43 行)

階段一:衍生因子 {A3}、{B3}、{B4}

  1. 每列使用 Excel 函數利用子群組的樣本數量(ni)計算子群組的平均值(xi)及其標準差(si
    ni 輸入工作表的欄 Hi 公式為 "=COUNT(Ci : Gi)"
    → I4 = COUNT(C4 : G4) => 5
    xbari 輸入工作表的欄 Ii 公式為 "=AVERAGE(Ci : Gi)"
    → J4 = AVERAGE(C4 : G4) => 74.010
    si 輸入工作表的欄 Ji 公式為 "=STDEV(Ci : Gi )"
    → K4 = STDEV(C4 : G4) => 0.015
    確認公式輸入正確:舉例來說,螢幕上的第一個子群組應該輸為 n1 => 5, xbar1 => 74.010, s1 => 0.015
  2. 下一個欄位(L4),應針對此子群組插入 計算 {C4} 因子的公式:
    = EXP(GAMMALN(Ii / 2)) * SQRT(2 / (Ii - 1)) / EXP(GAMMALN((Ii - 1) / 2))
    確認子群組 #1 的公式計算的結果為 C4(n=5) => 0.940.
    = EXP(GAMMALN(I4 / 2)) * SQRT(2 / (I4 - 1)) / EXP(GAMMALN((I4 - 1) / 2))
  3. 接著,為了簡化計算,將從 {C4} 衍生而來的標準差輸入鄰近的細格(M4)
    = 3 * SQRT(1 - POWER(Li , 2)) / Li
    → M4 = 3 * SQRT(1 - POWER(L4, 2)) / L4 => 1.089
  4. 然後,將右邊的連續三個細格(N、O、P),使用方程式來計算 {A3}、{B3} 及 {B4}。
    {A3} in Ni = 3 / (Li * SQRT(Ii))
    →N4 = 3 / (L4 * SQRT(I4)) => 1.427 (對於分組 #1)
    {B3} in Oi = IF((1 - Mi) < 0, 0, (1 - Mi))
    →O4 = IF((1 - M4) < 0, 0, (1 - M4)) = 0 (對於分組 #1)
    {B4} in Pi = 1 + Mi
    → P4 = 1 + M4 => 2.089 (對於分組 #1)

階段二:計算子群組大小不同的 CL、UCL 及 LCL

  1. 每行計算 [ni * xbari] 和 [ni - 1) * si2]
    (a) 在工作表的欄 Qi 計算 ni * xbari = Gi * Hi
    → Q4 = I4 * J4 => 370.51
    (b) 在工作表的欄 Ri 計算 R (ni - 1) * si2 = (Ii - 1) * POWER(Ki, 2)
    → R4 = (I4 - 1) * POWER(K4, 2) => 0.00087 (≅ 0.001)
  2. 使用 A 確認子群組的數量並使用 H 欄位計算子群組總樣本數:
    (a) 子群組的數量 (m) 輸入在工作表的欄 $A$2
    m: A2 = COUNT(A4 : An) = COUNT(A2:A43) => 40
    (b) 子群組樣本的總數輸入在工作表的欄 $I$2
    I2 = SUM(I4 : In) = SUM(I4:I43) => 188
    (d) Q 欄加總,並在 $Q$2 輸入 Σ[ni * xbari]
    → Q2 = SUM(Q4:Q43) => 13912.676
    (e) R 欄加總,並在 $R$2 輸入 Σ[ni - 1) * si2]
    → R2 = SUM(R4:R43) => 0.0159
  3. 計算 xbar 的加權平均值:
    → L1 = $Q$2 / $I$2 => 13912.676 / 188 => 74.004
  4. 計算 s 的加權平均值:
    → [Σ(ni) - m] : E1 = I2-A2 => 188 - 40 => 148
    → L1 = POWER($R$2/$E$1, 0.5) = POWER(0.0159 / 148, 0.5) = 0.010
  5. 計算 x 圖每個子群組的中線及管制界限
    CLx (x-double-bar) = L1 = 74.004
    LCL(n=i) , UCL(n=i) = CLx ± A3(n=i) * CLs
    LCL(n=1): S4 = $L$1 - N4 * $L$2
    → S4 = 74.004 - 1.427 * 0.010 => 73.989
    UCL(n=1): T4 = $L$1 + N4 * $L$2
    → T4 = 74.004 + 1.427 * 0.010 => 74.018
  6. 計算 s 圖每個子群組的中線及管制界限
    CLs (s-bar) = $L$2
    LCL(n=i) = B3(n=i) * CLs
    UCL(n=i) = B4(n=i) * CLs
    LCLs = Oi * CLs
    → U4 = O4 * $L$2 = 0 * 0.010 = 0
    UCLs = Pi * CLs
    → V4 = P4 * $L$2 = 2.089 * 0.010 = 0.0216
  7. 使用 Excel 畫 圖 #1 所示的兩個管制圖
圖 2. 完成計算繪平均值與標準差管製圖 (Montgomery pp.187, 192)
表一、如何計算變數管制圖的因子
Equation Excel
這使用 nn) 的 gamma 函數
使用 Excel 工作表為例,將每個子群組的資料排成一列,如 A1…F1…,當作第一個子群組; A2…F2…當作第二個子群組等。以第一個子群組為例,子群組的樣本數 n 輸入在 Excel 工作表的 A1
計算子群組的 {C4} 公式如下:

在 2003 年版的 Excel,能夠使用 gammaln 的指數
factor {C4}(n=i) = EXP(GAMMALN(A1 / 2)) * SQRT(2 / (A1 - 1)) / EXP(GAMMALN((A1 - 1) / 2))

從2013年版的 Excel,能夠直接叫出 gamma 函數,即為GAMMA(x) = Γ(x)
factor {C4}(n=i) = GAMMA(A1 / 2) * SQRT(2 / (A1 - 1)) / GAMMA((A1 - 1) / 2))

如果資訊工程師要在 *.net 程式中應用,則利用以下程式
Γ(x) = Chart1. DataManipulator. Statistics. GammaFunction (x)
繼續利用目前子群組樣本數 n (Excel工作表的 A1)以及在同一列所算出來的 {C4} 的值計算 A3
factor {A3} = 3 / ({C4}(n=i) * SQRT(A1))
下一步,標準差的算法說明於下:
{standard-deviation}=3*SQRT(1 - POWER({C4}(n=i), 2)) / {C4}
接著計算因子 {B3},使用剛剛計算的標準差,並確保沒有其結果不小於零。
factor {B3} = IF((1 - {standard-deviation}) < 0, 0, (1 - {standard-deviation}))
最後,計算 {B4},說明於下:
factor {B4} = 1 +{standard-deviation}
表二、變數管制圖所使用的因子
n C4 A3 B3 B4
2 0.7979 2.659 0.000 3.267
3 0.8862 1.954 0.000 2.568
4 0.9213 1.628 0.000 2.266
5 0.9400 1.427 0.000 2.089
6 0.9515 1.287 0.030 1.970
7 0.9594 1.182 0.118 1.882
8 0.9650 1.099 0.185 1.815
9 0.9693 1.032 0.239 1.761
10 0.9727 0.975 0.284 1.716
11 0.9754 0.927 0.321 1.679
12 0.9776 0.886 0.354 1.646
13 0.9794 0.850 0.382 1.618
14 0.9810 0.817 0.406 1.594
15 0.9823 0.789 0.428 1.572
16 0.9835 0.763 0.448 1.552
17 0.9845 0.739 0.466 1.534
18 0.9854 0.718 0.482 1.518
19 0.9862 0.698 0.497 1.503
20 0.9869 0.680 0.510 1.490
21 0.9876 0.663 0.523 1.477
22 0.9882 0.647 0.534 1.466
23 0.9887 0.633 0.545 1.455
24 0.9892 0.619 0.555 1.445
25 0.9896 0.606 0.565 1.435
50 0.9949 0.426 0.696 1.304
100 0.9975 0.301 0.787 1.213

參考文獻:

  • Montgomery DC. 1997 Introduction to statistical quality control 3rd edition. John Wiley & Sons Inc. New York. [eng.sut.ac.th]
  • C4 Function. computes the expected value of the standard deviation of n independent normal random variables. [v8doc.sas.com]
  • Zaiontz C. Gamma function in Excel. [www.real-statistics.com]
  • Microsoft Datavisualization Charting. StatisticFormula.GammaFunction Method. [msdn.microsoft.com/library]