平均值與標準差管製圖 (x-bar and s charts)

	= "x-bar" 算術平均數（平均值）
	= "x-double-bar" 總平均值（所有平均值的平均值）

平均值與標準差管製圖是成對出現的獨立管制圖，一個是依據每個子群組的衡量結果的平均值（xbar），一個是依據分散程度（標準差）。這兩種變數通常隨時間註記。圖的中線分別為總平均值（平均值的平均值）及標準差的平均值。

觀察值的數據會儘可能依據同質性（子群組內的資料儘可能是很類似的）整合至子群組。子群組是一組在類似條件下或在相同的時間週期內取得的測量結果。子群組的大小是多變的，可以低至2或3；也可以是非常大的，如在管理性的資料庫內。

隨著子群組大小的不同，管制界線會隨之上下波動，對於樣本較小的子群組，管制界線較寬。這在 s 圖也有此現象，隨著子群組大小不同而改變。

解釋

使用時間資料進行流程改善，對於其他管制圖的檢測方法亦可以應用於x-bar管制圖。然而，只有檢測條件 #1（一個或更多資料點超過3個標準差的範圍）被採用。 平均圖（上圖）指出抽樣間流程的變化。 標準差圖（下圖）顯示每次抽的樣本內之變異性。
當分析這些圖時，應該先分析標準差圖。如果他有一個或多個點超出管制界限，就不要進一步分析平均圖。 這是因為標準差的平均值是用來計算平均圖的界限。如果標準差圖超過管制界限，則平均圖的管制上限及下限將會偏移。 也要注意標準差圖沒有分區（如 1SD、2SD、3SD），因為分區不適用。
對於流程管制，只有檢測條件 #1 可用在 x-bar 和 s 圖。
那麼，繪製了這個圖該怎麼辦？你已經知道幾件事：

1. 流程在管制內（穩定）
2. 一般來說，未來在執行流程大約需花掉 CL（平均）的時間，除非
   • 一些事情產生特殊原因變異
   • 採取介入行動及啟動流程改善措施
3. 使用此數據回饋給流程的使用者，特別是如果他們抱怨流程耗很多時間或總是被改變。 如果他們認為目前流程的平均是不可接受的，那基本的作法是〝採取行動改變流程！〞

如果你決定採取行動以改善穩定流程，由以下幾個現象視為流程改善的佐證：

• 降低流程的變異（亦即管制下限及管制上限的區間縮小）
• 且/或流程平均比先前程度高或低

為了檢測介入策略的影響，你利用原先的管制界限及流程平均，接著持續畫上新的資料。如果你的介入策略有效，你會看到流程的變異降低且/或偏移。

變數管制圖的因子

因子 {A₃}、{B₃}、{B₄} （依據子群組的大小） 列在表二。對使用 Excel 的人，能使用 LOOKUP 指令讀取手工編碼表，亦可利用表一在 Excel 中依據子群組的大小進行運算。{C₄} 因子常伴隨著 n，強調隨著子群組的大小而改變，這裡的 n ≥ 2。

階段一：衍生因子 {A₃}、{B₃}、{B₄}

1. 每列使用 Excel 函數利用子群組的樣本數量（n_i）計算子群組的平均值（x_i）及其標準差（s_i）
   將 n_i 輸入工作表的欄 H_i 公式為 "=COUNT(C_i : G_i)"
   → I4 = COUNT(C4 : G4) => 5
   將 xbar_i 輸入工作表的欄 I_i 公式為 "=AVERAGE(C_i : G_i)"
   → J4 = AVERAGE(C4 : G4) => 74.010
   將 s_i 輸入工作表的欄 J_i 公式為 "=STDEV(C_i : G_i )"
   → K4 = STDEV(C4 : G4) => 0.015
   確認公式輸入正確：舉例來說，螢幕上的第一個子群組應該輸為 n₁ => 5, xbar₁ => 74.010, s₁ => 0.015
2. 下一個欄位（L4），應針對此子群組插入 計算 {C₄} 因子的公式：
   = EXP(GAMMALN(I_i / 2)) * SQRT(2 / (I_i - 1)) / EXP(GAMMALN((I_i - 1) / 2))
   確認子群組 #1 的公式計算的結果為 C_4(n=5) => 0.940.
   = EXP(GAMMALN(I4 / 2)) * SQRT(2 / (I4 - 1)) / EXP(GAMMALN((I4 - 1) / 2))
3. 接著，為了簡化計算，將從 {C₄} 衍生而來的標準差輸入鄰近的細格（M4）
   = 3 * SQRT(1 - POWER(L_i , 2)) / L_i
   → M4 = 3 * SQRT(1 - POWER(L4, 2)) / L4 => 1.089
4. 然後，將右邊的連續三個細格（N、O、P），使用方程式來計算 {A₃}、{B₃} 及 {B₄}。
   {A₃} in N_i = 3 / (L_i * SQRT(I_i))
   →N4 = 3 / (L4 * SQRT(I4)) => 1.427 （對於分組 #1）
   {B₃} in O_i = IF((1 - M_i) < 0, 0, (1 - M_i))
   →O4 = IF((1 - M4) < 0, 0, (1 - M4)) = 0 （對於分組 #1）
   {B₄} in P_i = 1 + M_i
   → P4 = 1 + M4 => 2.089 （對於分組 #1）

階段二：計算子群組大小不同的 CL、UCL 及 LCL

1. 每行計算 [n_i * xbar_i] 和 [n_i - 1) * s_i²]
   (a) 在工作表的欄 Q_i 計算 n_i * xbar_i = G_i * H_i
   → Q4 = I4 * J4 => 370.51
   (b) 在工作表的欄 R_i 計算 R (n_i - 1) * s_i² = (I_i - 1) * POWER(K_i, 2)
   → R4 = (I4 - 1) * POWER(K4, 2) => 0.00087 (≅ 0.001)
2. 使用 A 確認子群組的數量並使用 H 欄位計算子群組總樣本數：
   (a) 子群組的數量 (m) 輸入在工作表的欄 $A$2
   m: A2 = COUNT(A4 : A_n) = COUNT(A2:A43) => 40
   (b) 子群組樣本的總數輸入在工作表的欄 $I$2
   I2 = SUM(I4 : I_n) = SUM(I4:I43) => 188
   (d) Q 欄加總，並在 $Q$2 輸入 Σ[n_i * xbar_i]
   → Q2 = SUM(Q4:Q43) => 13912.676
   (e) R 欄加總，並在 $R$2 輸入 Σ[n_i - 1) * s_i²]
   → R2 = SUM(R4:R43) => 0.0159
3. 計算 xbar 的加權平均值：
   
   → L1 = $Q$2 / $I$2 => 13912.676 / 188 => 74.004
4. 計算 s 的加權平均值：
   
   → [Σ(n_i) - m] : E1 = I2-A2 => 188 - 40 => 148
   → L1 = POWER($R$2/$E$1, 0.5) = POWER(0.0159 / 148, 0.5) = 0.010
5. 計算 x 圖每個子群組的中線及管制界限
   CLx (x-double-bar) = L1 = 74.004
   LCL_(n=i) , UCL_(n=i) = CLx ± A3_(n=i) * CLs
   LCL_(n=1): S4 = $L$1 - N4 * $L$2
   → S4 = 74.004 - 1.427 * 0.010 => 73.989
   UCL_(n=1): T4 = $L$1 + N4 * $L$2
   → T4 = 74.004 + 1.427 * 0.010 => 74.018
6. 計算 s 圖每個子群組的中線及管制界限
   CLs (s-bar) = $L$2
   LCL_(n=i) = B3_(n=i) * CLs
   UCL_(n=i) = B4_(n=i) * CLs
   LCLs = O_i * CLs
   → U4 = O4 * $L$2 = 0 * 0.010 = 0
   UCLs = P_i * CLs
   → V4 = P4 * $L$2 = 2.089 * 0.010 = 0.0216
7. 使用 Excel 畫 圖 #1 所示的兩個管制圖